hiromathのブログ

趣味数学をのんびりと。

有理数のお話。その2

どうもhiromathです。

前回、高校の教科書に書いてある

有理数は整数、有限小数、循環小数のいずれかになることが知られている

という文章を確かめるべく、この同値性を調べている途中でした。

前回の記事はこちら↓↓

有理数のお話。 - hiromathのブログ

そして、今回は有理数ならば整数、有限小数、循環小数のいずれかであることを示していきます。 ですが、整数は有理数の一部であるので、以下、整数でない有理数について考えることにします。

さて、本題の前に、いくつか準備が必要です。まず、次の命題を用意しておきましょう。

\mbox{有理数}\displaystyle \ p=\dfrac{n}{m} \mbox{が有限小数になるならば, 整数} m \mbox{は, }
\displaystyle2 \mbox{と}5 \mbox{以外の素因数を持たない.}

これに関しては、経験的にも直感的にも明らかだと思います。

【証明】有限小数 p (前回同様、 p\in (0, 1) としても一般性を失わない)を、 10進法表記で

\displaystyle p=0.a_1 a_2 \cdots a_n

と表せるとする。このとき、

\displaystyle p=\dfrac{a_1 a_2 \cdots a_n}{10^n}

と表せる。ここで、 a_1 a_2 \cdots a_nは整数であるから、 pを出来るところまで約分したときの分母は 10^{n} の約数である。 よって、 pは 2と 5以外に素因数を持たない。(証明終)

実はこの命題の逆も正しいです。つまり、有理数の分母を素因数分解したとき、 2と5のみ現れるとき、有限小数になるということにもなります。ということで、現段階で、次のことが言えたことになります。

\displaystyle p=\dfrac{n}{m} に対して, m=2^{a}×5^{b} \ ならば \ pは有限小数

つまり、これからは、分母に2と5以外の素因数が含まれたらどうなるかについて考えていきます。

先ほどの命題の対偶を取ると、次のようになります。

\displaystyle 有理数 \ p=\dfrac{n}{m}に対し,mが2,5以外の素因数を
\displaystyle 持つならば, pは無限小数である.

この事実は、実はとっても大事だったりします。その前にもう一つ、準備があります。

\displaystyle n \in \mathbb{N} に対して, a(n):=11 \cdots 1 (1が n 個並んで
\displaystyle いる数)と定める. このとき, 10と互いに素な整数qに
\displaystyle 対し, a(n_0)が q で割り切れるような n_0 が存在する.

この命題は、鳩の巣論法という、少し特殊な方法で証明します。(鳩の巣論法についてはここではちゃんと説明しません。)

【証明】 q を 10と互いに素な整数とする。このとき、

\displaystyle a(1), a(2), \cdots ,a(q+1)

の中で、それらを qで割った余りが等しい2つの組が、少なくとも1組存在する。それらを a(k), a(l) (ただし k ＜ l ) とする。このとき、

\displaystyle a(l)-a(k)=10^{k}×a(l-k)

であることと、 a(l)-a(k)が q の倍数であることから、ある定数 Mがあって、

\displaystyle 10^{k}×a(l-k)=q M

と表せる。ここで、 qは 10^{k}と互いに素だから、 a(l-k) は qの倍数。 (証明終)

これでようやく準備万端！ 無限小数かつ有理数ならば、循環小数であるを示していきます。

ですが、長くなったので次回に。 意外と記事にすると長くなっちゃいますね。

有理数のお話。

どうもhiromathです。

某私立高校で非常勤講師をしている私ですが、高校1年生の数学Iを担当していまして。 1学期の真ん中くらいに、“実数”という単元があり、まぁそこを教えてて思ったことがいくつかあるので、それについて。 言いたいことといえば、高校の数学の教科書ってあなどっちゃいけないねということです。

まず、 整数とは、 \cdots , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \cdotsという、ざっくりいえば小数点以下がないきりのよい数であり、特に正(0より大)の整数を自然数と呼んだりします。(様々な流派もありますが、ここでは自然数に0を含まないとします。)

特に、数学に精通している人は、しばしば、

\mathbb{Z} \mbox{:整数全体の集合}
\mathbb{N} \mbox{:自然数全体の集合}

とそれぞれ表したりします。ここではこのように表そうと思います。

そして、本題の有理数とは、

\mbox{2つの整数}m, n (\mbox{ただし}m\neq 0) \mbox{を用いて, } \dfrac{n}{m} \mbox{と表せる数}

のことを言います。また、先ほどと同様に有理数全体の集合を \mathbb{Q}と表します。

まぁここら辺は、もしかしたら数学のことあんまり知らなくても聞いたことある人が多いと思います。

高校の教科書には、次のように書かれています。

有理数は、整数、有限小数、循環小数のいずれかになることが知られている。

私が高校生の時、ここら辺はあまり深く考えたことない(ほぼ当たり前だと思ってたのだろうか)のですが、教える立場になって思いました。

高校生レベルの知識で証明できるのか…

ということが気になったので、私なりに証明をしてみたのですが、パッと思いついた方法はなかなかにめんどくさい感じなので、後々追記とかで書くかもしれません。 (現段階の私の実力では、この証明が一番しっくりきてます。)

まず、整数または有限小数ならば、有理数はほぼ自明なので省略。循環小数ならば有理数を示したいと思います。

【証明】まず、循環小数 p (特に p \in(0, 1)としても一般性を失わない)を、 10進法表記で、

p=0.a_1 a_2 \cdots a_n a_1 a_2 \cdots a_n a_1 \cdots \tag{1}

と表せるとする(ただし n \in \mathbb{N})。このとき、

10^n×p=a_1 a_2 \cdots a_n . a_1 a_2 \cdots a_n a_1 \cdots \tag{2}

これより、 (2)-(1)より、

(10^n-1)p=a_1 a_2 \cdots a_n
\therefore \displaystyle p=\dfrac{a_1 a_2 \cdots a_n}{10^n-1}

ここで、

a_1 a_2 \cdots a_n,10^{n} -1
はともに整数だから、 pは有理数である。(証明終)

上の証明は実際、具体的な循環小数を有理数に直す時と同様の手順ですよね。循環している数の個数だけ小数点をずらして引くという、大変初等的な考えに基づいた証明かなと思います。

後は以上の逆、有理数ならば 整数、有限小数、循環小数のいずれかになることを示していきますが、ちょっと長くなってきたのでここらでおしまい。 次回には証明終わるでしょうかね。

はじめまして。

こんばんは。はじめまして、hiromathです。

 

都内の大学を卒業し、大学院で数学(解析学)を研究しながら、某私立高校で非常勤講師として働いています。(もちろん教科は数学です。)

 

 

本当はもう少し時期的に遅くに始めようと思ってたんですが、思い立ったが吉日という言葉もありますし、こんなブログを始めてしまいました。

 

まずこのブログの注意事項から説明いたしますと

 

1. このブログは完全なる筆者の自己満です。

2. 筆者の趣味と主観がほとんどの割合を占めます。

(3. いつ出現していつ失踪するか不明です。)

 

こんな感じで、マイペースに負担にならないように続けていけたらと思っています。

 

 

で、このブログにどんなこと書くのーって話ですが、基本的に筆者が趣味の範囲で学んだ数学について語るという内容になると思います。あくまでも趣味の範囲ですのであしからず。特に、大学院での研究についての話は(多分きっとおそらく)書かないかなと思います。

 

私自身、大学院で数学を研究しているものの、面白いなと感じるのはやっぱり、高校〜大学レベルの数学なんですよね〜。

ということで、高校数学の延長で、少し大学の範囲の話をするような感じにしたいなって思ってます。後は趣味で勉強していることとか。そんな感じ。

 

そんなこんなでマイペースにやっていきます。

 

 

 

-----以下、texのテスト-----

\mathbb{R}:実数全体の集合

\mathbb{C}:複素数全体の集合

\mathbb{N}:自然数全体の集合

 e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^n}{n!}

v(t)=e^{t(\Delta-1)}v_0+\int_0^t e^{(t-s)(\Delta-1)}u(s) \ ds