hiromathのブログ

趣味数学をのんびりと。

有理数のお話。その2

どうもhiromathです。

前回、高校の教科書に書いてある

有理数は整数、有限小数、循環小数のいずれかになることが知られている

という文章を確かめるべく、この同値性を調べている途中でした。

前回の記事はこちら↓↓

有理数のお話。 - hiromathのブログ

そして、今回は有理数ならば整数、有限小数、循環小数のいずれかであることを示していきます。ですが、整数は有理数の一部であるので、以下、整数でない有理数について考えることにします。

さて、本題の前に、いくつか準備が必要です。まず、次の命題を用意しておきましょう。

$\mbox{有理数}\displaystyle \ p=\dfrac{n}{m} \mbox{が有限小数になるならば, 整数} m \mbox{は, }$

$\displaystyle2 \mbox{と}5 \mbox{以外の素因数を持たない.}$

これに関しては、経験的にも直感的にも明らかだと思います。

【証明】有限小数 $p$ (前回同様、 $p\in (0, 1)$ としても一般性を失わない)を、 $10$ 進法表記で

$\displaystyle p=0.a_1 a_2 \cdots a_n$

と表せるとする。このとき、

$\displaystyle p=\dfrac{a_1 a_2 \cdots a_n}{10^n}$

と表せる。ここで、 $a_1 a_2 \cdots a_n$ は整数であるから、 $p$ を出来るところまで約分したときの分母は $10^{n}$ の約数である。よって、 $p$ は $2$ と $5$ 以外に素因数を持たない。(証明終)

実はこの命題の逆も正しいです。つまり、有理数の分母を素因数分解したとき、 $2と5$ のみ現れるとき、有限小数になるということにもなります。ということで、現段階で、次のことが言えたことになります。

$\displaystyle p=\dfrac{n}{m} に対して, m=2^{a}×5^{b} \ ならば \ pは有限小数$

つまり、これからは、分母に2と5以外の素因数が含まれたらどうなるかについて考えていきます。

先ほどの命題の対偶を取ると、次のようになります。

$\displaystyle 有理数 \ p=\dfrac{n}{m}に対し,mが2,5以外の素因数を$

$\displaystyle 持つならば, pは無限小数である.$

この事実は、実はとっても大事だったりします。その前にもう一つ、準備があります。

$\displaystyle n \in \mathbb{N} に対して, a(n):=11 \cdots 1 (1が n 個並んで$

$\displaystyle いる数)と定める. このとき, 10と互いに素な整数qに$

$\displaystyle 対し, a(n_0)が q で割り切れるような n_0 が存在する.$

この命題は、鳩の巣論法という、少し特殊な方法で証明します。(鳩の巣論法についてはここではちゃんと説明しません。)

【証明】 $q$ を $10$ と互いに素な整数とする。このとき、

$\displaystyle a(1), a(2), \cdots ,a(q+1)$

の中で、それらを $q$ で割った余りが等しい2つの組が、少なくとも1組存在する。それらを $a(k), a(l)$ (ただし $k ＜ l$ ) とする。このとき、

$\displaystyle a(l)-a(k)=10^{k}×a(l-k)$

であることと、 $a(l)-a(k)$ が $q$ の倍数であることから、ある定数 $M$ があって、

$\displaystyle 10^{k}×a(l-k)=q M$

と表せる。ここで、 $q$ は $10^{k}$ と互いに素だから、 $a(l-k)$ は $q$ の倍数。 (証明終)

これでようやく準備万端！ 無限小数かつ有理数ならば、循環小数であるを示していきます。

ですが、長くなったので次回に。意外と記事にすると長くなっちゃいますね。